Polje algebarskih brojeva je rekurzivno. To znači da postoji reprezentacija algebarskih brojeva, tako da se može algoritamski računati sa njima (množiti, deliti, sabirati, oduzimati i porediti da li su jednaki), baš kao što racionalni brojevi imaju reprezentaciju (par - brojilac, imenilac) takav da postoje pravila računanja sa time.
Pošto je algebarski broj koren polinoma stepena bar jedan sa racionalnim koeficijentima, može se kao reprezentacija izabrati par - polinom, disk čiji centar ima racionalan realan i imaginaran deo i racionalan poluprečnik takav da željeni koren polinoma pripada unutrašnjosti diska, a ostali ne pripadaju zatvorenju diska.
Pritom se lako može osloboditi najpre višestrukih korena polinoma, jer polinom
ima isti skup korena kao polinom
, ali je svaki jednostruk. Time prelazimo na slučaj kada nam je broj korena polinoma poznat (jednak stepenu polinoma). Dalje, postoje globalno konvergentni algoritmi za numeričko rešavanje algebarskih jednačina. To znači da možemo odrediti onoliko proizvoljno malih disjunktnih diskova koji sadrže po jedan koren, koliki je stepen polinoma. Time se svi koreni polinoma mogu izračunati sa proizvoljnom tačnošću.
Računanjem vrednosti izraza u tački koja je neki od tih korena uzimajući u obzir disk kome koren pripada i grešku odsecanja prilikom računanja može se odrediti disk kome pripada vrednost izraza, pri čemu taj dosk može biti po želji mali s tim da se odredi dovoljno mali disk kome pripada taj koren. Takođe, algoritmima za faktorizaciju, kao što je na primer Kronekerov, može se polinom faktorisati na proste činioce nad poljem
. Ako se svaki od faktora izračuna u tački koja predstavlja željeni koren i dobije disk kome pripada željena vrednost, dobijanjem sve manjih diskova će se dobiti za sve faktore osim jednog da im taj koren polaznog polinoma nije koren, na osnovu čega je taj koren polaznog polinoma koren preostalog faktora. Tako se u reprezentaciji može preći na nesvodljiv polinom nad poljem
.
Problem je kako na osnovu reprezentacija algebarskih brojeva
i
izračunati reprezentaciju od npr.
i slično za oduzimanje, delenje, množenje i korenovanje proizvoljnog stepena.
Ako je
, pri čemu je
i
, onda se svaki stepen broja
može prikazati kao linearna kombinacija stepena broja
sa izložiocima manjim od
i sa racionalnim koeficijentima. Naime, ako je
ostatak pri delenju polinoma
polinomom
, onda je
. Slično važi i za stepene broja
.
Uočimo brojeve
, gde je
i
i numerišimo ih i označimo sa
. Svaki broj oblika
se može prikazati kao linearna kombinacija brojeva
sa racionalnim koeficijentima. Korišćenjem te činjenice i binomne formule se može broj
izraziti kao linearna kombinacija brojeva
sa racionalnim koeficijentima.
Ako je
uz
, formirajmo matricu formata
takvu da se u preseku
-te vrste i
-te kolone nalazi
. Obzirom da je broj vrsta veći od broja kolona, vrste matrice su linearno zavisne, postoje racionalni brojevi
od kojih barem jedan nije nula, takvi da je
za svako
. Stoga je
,
odnosno
za
. Slično se postupa u slučaju ostalih operacija. Nakon što smo odredili nenula polinom sa racionalnim koeficijentima čiji je jedan od korena
treba odrediti bar jedan disk u čijoj unutrašnjosti leži
i čijem zatvorenju ne pripada nijedan drugi koren polinoma
. To se može učiniti sve tačnijim izračunavanem brojeva
i
u cilju sve tačnijeg izračunavanja broja
i sve tačnijim računanjem svih korena polinoma
sve dok disk koji sadrži
ne postane disjunktan sa diskovima koji sadrže korene polinoma
osim jednog.
Slično se postupa i sa oduzimanjem i množenjem. Što se inverza u odnosu na množenje tiče, ako je
za
i
, onda je
za
. Takođe, ako je
bilo koji
-ti kompleksni koren broja
i
, onda je
koren polinoma
. Za određivanje diskova važe slične primedbe kao malopre.
Napokon, kako utvrditi da li su brojevi
i
dati različitim reprezentacijama jednaki? Izračunajmo reprezentaciju broja
, pa ako se posle svođenja polinoma iz reprezentacije na minimalan dobije polinom
, onda je
, a u suprotnom nije.
[Ovu poruku je menjao Nedeljko dana 13.05.2013. u 21:51 GMT+1]
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.