Prvo uvedi funkciju
za
i
racionalno. Onda dokaži
,
,
i monotoniju i iskoristi
za
da dokažeš da ako je
niz racionalnih brojeva koji teži nuli da je onda
. To iskoristi da dokažeš sledeće: ako je
rastući niz racionalnih brojeva, a
opadajući niz racionalnih brojeva, pri čemu je
, onda mora biti
, odnosno
. To ti omogućava da definišeš jednoznačno
za
i
realno kao jedinstevno neprekidno produženje sa racionalnih eksponenata na realne.
Funkcija
je za
J-konveksna i neprekidna, pa je konveksna, pa je funkcija
rastuća. Kada sa desne strane
teži nuli, onda
opada, ali je stalno veće od nule, pa konvergira nenegativnoj vrednosti. Za
je
,
pa se konvergencija svodi na konvergenciju u slučaju da je
. Analogno važi i u slučaju kada
teži nuli sa leve strane. Pošto smo dokazali konvergenciju, možemo definisati funkciju
.
Sada se lako izvodi da je
.
Ako je
, onda je
pa je funkcija konstantna i jednaka vrednosti
pa je
. Dakle, za
je
, dok za
važi
. Iz identiteta
sledi da je
.
Odatle sledi da je
, odnosno
,
.
Takođe, smenom
se dobija da važi
.
Sada je lako izvesti strogu monotoniju funkcije
. Za
je
.
Slično, iz
i
sledi neograničenost funkcije
i odozgo i odozdo. Dokažimo neprekidnost.
Iz monotonije sledi da postoje limesi i sa leve i sa desne strane. Svaka monotona funkcija može imati najviše prebrojivo mnogo tačaka prekida, pa postoje tačke u kojima je funkcija
neprekidna. Neka je neprkidna u tački
. Za svaki niz
koji konvergira nekoj tački
važi da niz
konvergira ka
, pa važi
,
pa je neprekidna i u tački
. Dakle, neprekidna je svuda. Pritom je
i sa ob strane neograničena i strogo rastuća, pa je bijekcija skup
na
, pa postoji jedinstvena vrednost
za koju je
. Tada važi
,
a samim tim i
.
Pritom je
,
pa je
ništa drugo do inverzna funkcija funkcije
, odnosno logaritam za osnovu
. Izvod funkcije
se sada može izvesti kao izvod inverza funkcije
.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.